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MatheVital - Lineare Algebra I: Euklidischer Algorithmus und Kettenbrüche

Der euklidische Algorithmus (ggT) und die Kettenbruchberechnung werden hier thematisiert.

Euklidischer Algorithmus

Der größte gemeinsame Teiler (kurz: ggT) zweier natürlicher Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl, die sowohl a als auch b teilt. Der ggT ist z.B. beim Kürzen von Brüchen a/b wichtig, da dies die größte Zahl ist, durch die man Zähler und Nenner kürzen kann. Man kann den ggT zweier Zahlen für kleine Zahlen oft relativ schnell erraten, für größere Zahlen ist jedoch ein algorithmisches Vorgehen notwendig. Wir bezeichnen den ggT von a und b kurz mit ggT(a,b) .

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Kettenbruchberechnung

Das Verfahren des "Abspaltens von Quadraten" kann man auch durchführen, wenn die beiden Strecken a und b beliebige reelle Zahlen sind (also nicht notwendig kommensurabel). Es kann dann nur passieren, dass der Prozess niemals zu einem Ende kommt und man immer weitere neue Rechtecke betrachten muss. Das folgende Applet ermöglicht es, diesen Prozess für beliebige Zahlen zu untersuchen. (Leider werden die Quadrate recht schnell so klein, dass man nichts mehr erkennen kann.)

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Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl

In diesem Applet kann man die Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl schrittweise mitverfolgen. Die Eingabe der Zahl erfolgt in dem Textfeld links oben (es können Zahlen, Brüche oder sogar mathematische Formelausdrücke (wie sqrt(2) oder epx(1) oder (1+sqrt(5))/2) eingegeben werden).

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(Best-)Aproximierende Brüche

Mit diesem Applet kann man beobachten, wie gut eine nach i Iterationsschritten abgebrochene Kettenbruchentwicklung eine gegebene Zahl approximiert. Am Schieberegler kann man eine Iterationstiefe zwischen 1 und 20 einstellen.

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