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MatheVital 1 - Lineare Algebra: Einheitswurzeln

Die k-te Wurzel komplexer Zahlen und "springende" Wurzeln werden ebenso behandelt, wie das Mitverfolgen von Wurzeln. Des weiteren wird mit diversen Wurzeln experimentiert.

Die k-ten Wurzeln einer komplexen Zahl z

Im folgenden Applet kann man sich für gegebenes k und z die Wurzeln anzeigen lassen.

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"Springende" Wurzeln von z

Es folgt ein etwas subtiler Ausflug in die globale geometrische Struktur der Wurzelfunktionen. Wir haben gesehen, dass man die k-ten Wurzeln einer Zahl z als k-deutige Funktion auffassen muss. Mann könnte versucht sein zu fragen: " Wenn wir doch insgesamt k verschiedene k-te Wurzeln haben, warum definieren wir dann nicht einfach k verschiedene Funktionen, von denen jede jeweils eine Wurzel liefert ?" Dies kann man zwar tun, man nimmt dann jedoch in Kauf, dass die so entstehenden Funktionen sich nicht mehr kontinuierlich verhalten - schlimmer noch: Die "Sprungstellen", an denen diese Funktionen eine Diskontinuität aufweisen, sind letztlich willkürlich zu wählen. Diese Willkür bricht die gesamte Symmetrie, die dem Problem der Wurzelberechnung eigentlich zu Grunde liegt. Das folgende Applet verdeutlicht diesen Effekt. Die Werte der einzelnen Funktionen sind durch verschiedene Farben markiert. Man beobachtet, dass - wenn man einmal um den Ursprung bewegt - die Farben an drei Stellen plötzlich springen.

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Mitverfolgen der Wurzeln von z

Im folgenden Applet wird gezeigt, was passiert, wenn man die Eindeutigkeit der Wurzelfunktionen fallen lässt, und stattdessen versucht, die verschiedenen "Zweige" der Wurzelfunktion kontinuierlich mitzuverfolgen. Man erhält k "Funktionen" (eigentlich ist dieses Wort hier unangebracht), die für sich genommen sich jeweils stetig in der Bewegung von z verhalten.

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Experimentieren mit Wurzeln von z

In diesem Applet kann man noch einmal die Effekte der beiden vorangegangenen Beispiele gleichzeitig nachvollziehen: An einem Schalter kann man wählen, ob Wurzeln mitverfolgt werden sollen (oder eben nicht). Man kann auch veranlassen, dass die zu den Wurzeln gehörigen Punkte "Schleifspuren" hinterlassen. Dadurch kann man die Effekte, insbesondere das "Springen" und "Nicht-Springen", genauer verfolgen.

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Mehrfachüberlagerungen der komplexen Zahlenebene C (für Experten)

Das folgende Applet ist der Versuch einer Visualisierung eines fortgeschrittenen Konzepts der komplexen Funktionentheorie: Mehrfachüberlagerungen.

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