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Entwurfmuster

Diese Sammlung stellt vor Entwurfmuster für Mathematiklehre die von dem SAiL-M Projekt gesammelt wurden.

Das Muster: Technology on Demand/The TECHNOLOGY ON DEMAND Pattern

The TECHNOLOGY ON DEMAND Pattern

Problem / Challenges / Motivation

Students solving math problems should learn when to use which software in which context. They should be able to use the software whenever they think it will be useful. Students should experience the usefulness of technology solving mathematical problems and reflect on it.

Forces

  • To solve math problems with IT is not always necessary so there has to be created a demand for technology to solve the problems.
  • Students have no or low abilities in using related software in itself so they avoid using IT as long as possible.
  • Exploring mathematical assumptions using technology requires i.e. systematically approaches of varying specific parameters and keeping track of the changes which are not normally known to students from school.

Solution

Math problems are selected where the use of technology is necessary. There are several ways to achieve this: (1) Problems must be of sufficient high complexity. (2) Problems must induce operations which would be too much work or too monotonous work to be done by hand (for example, always the same calculations with different data). (3) Representations or visualizations of data which can’t be created efficiently without the software are needed to solve the problems.

Students get instructions how to use the specific software (s. section 2). Math problems should contain hints on which software is appropriate. These hints should be as open as possible. For example, they should not mention specific software packages (as Open Office Calc), but types of software (as spreadsheet calculation programs). Ideally, alternatives are given in a way that students can reflect on the advantages and disadvantages of different tools in the specific context. In addition, students must have access to computer tools whenever they need it.

The phrasing of the problems includes questions, tasks and hints which guide the exploring using the technology without suppressing the possibility to follow own ideas and other paths.

Rationale

The learning of software usage is most effective in contexts where it is necessary to use the software. The need to use a software tool should come before the instruction not the other way around. This is called just-in-time learning or learning-on-demand ((2),(3),(4)).

Computer applications are cognitive tools when they support people’s thinking. “Cognitive tools refer to technologies, tangible or intangible, that enhance the cognitive powers of human beings during thinking, problem solving, and learning.” ((5) p. 693). Cognitive tools allow for creating useful representations, they help to explore a given situation in microworlds, they support deep thinking about content, or they just take away routine jobs from the learner to free his or her cognitive resources (6).

Cognitive tools in the context of learning mathematics can be spreadsheet calculation programs, dynamic geometry systems, computer algebra systems, or simply handheld calculators. The problems have to be posed so that the software i.e. allows to explore an assumption or to falsify the obvious first idea to a solution. If the software can be simply used to avoid thinking then the problems has to be changed.

Examples

A typical geometry problem inducing the need for technology is the following:

Given the instruction of inversing points with respect to an inversion circle (without giving away the mathematical term), explore the following questions:

  • What is the inverse of a line?
  • What is the inverse of a circle?
  • What happens if the circle is moved?
Hints/Techniques:
  • You can use a dynamic geometry system for exploration.
A similar example in the field of algebra (cf. (1)): ~~Make conjectures of several unit fractions concerning their decimal representation.

What kind of decimal do you get?~~

If it is not a terminating decimal: How long are the periods and the delays of the periods? Make conjectures on the base of your data. Which properties determinate the kind of decimal? Which properties determinate the length of the period and the delay? Test your hypotheses with other unit fractions. Hints/Techniques: You can use the spreadsheets made available in our LMS. Which of the unit fractions are good indicators for your conjectures?

References

  1. Bescherer, C.: LoDiC – Learning on Demand in Computing. In: Proceedings of 8th IFIP World Conference on Computers in Education 2005, Cape Town, 4.–7. July (2005).
  2. Bescherer, C., Spannagel, C., & Müller, W.: Pattern for Introductory Mathematics Tutorials. To appear in the proceedings of the EuroPLOP 2008 conference (in press).
  3. Eisenberg, M. & Fischer, G.: Symposium: learning on demand. In: Proceedings of the Fifteenth Annual Conference of the Cognitive Science, pp. 180–186, Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, NJ (1993).
  4. Jonassen, D. H., & Reeves, T. C. Learning with technology: Using computers as cognitive tools. In D. H. Jonassen (Ed.), Handbook of research for educational communications and technology, 693-719. New York: Macmillan (1996)
  5. Salomon, G.: No distribution without individuals’ cognition: a dynamic interactional view. In: G. Salomon (ed.), Distributed cognitions. Psychological and educational considerations, pp. 111–138. Cambridge University Press, New York (1993).
  6. Spannagel, C., Girwidz, R., Löthe, H., Zendler, A. & Schroeder, U.: Animated Demonstrations and Training Wheels Interfaces in a Complex Learning Environment. Interacting with Computers, 20(1), 97–111 (2008).

Das Muster: Representation on Demand

The REPRESENTATION ON DEMAND

Problem / Challenges / Motivation

Inhalte, zum Beispiel in Mathematik, können auf mehrere Arten und Weisen dargestellt werden. Funktionen und Zuordnungen können mittels z. B. Termen, Graphen, Mengen-Pfeil-Diagrammen oder Wertetabellen repräsentiert werden. Auch computergestützte Lernumgebungen verwenden nur die Repräsentationsform(en) der Inhalte, die in den Kontext passen. Da aber hier die Lernenden größtenteils auf sich alleine gestellt sind, sollten mehrere Darstellungsformen vorhanden sein. Hinsichtlich der Informationsaufnahme und des Lernens gibt es unterschiedliche Typen und Arten, deshalb sollte den Lernenden die Möglichkeit gegeben werden, gemäß ihrem Lernstil die für Sie beste und verständlichste Darstellungs- und Repräsentationsform auszuwählen. Somit ist gewährleistet, dass auch ein größtmöglicher Lernerfolg erzielt werden kann.

Einflussfaktoren / Forces

Bietet man Lernenden, zum Beispiel Studierenden in einer Vorlesung, die Inhalte auf alle möglichen Arten und Weisen, benötigt man viel Zeit. Diese Zeit steht im Allgemeinen nicht zur Verfügung, bzw. es müsste auf andere Inhalte dafür verzichtet werden. Zudem werden nicht immer alle Repräsentationsformen benötigt. Werden die zu vermittelnden Inhalte bereits nach der ersten Darbietung verstanden, macht es wenig Sinn, diese auf weitere Arten nochmals darzustellen. Studierende in der Vorlesung langweilen sich und schalten ab.

Mehrere Zugangsarten zu einem Thema müssen nicht unbedingt vorteilhaft für Lernende sein. Vor allem schwächere Lerner und Studienanfänger werden von mehreren Darstellungen eines Sachverhaltes überfordert und verwirrt. Unterschiedliche Darstellungen benötigen auch unterschiedliche Herangehens- und Sichtweisen und somit einen flexiblen Umgang mit diesen.

In Computerprogrammen würde eine Darstellung der Inhalt auf alle Arten und Weisen den „Blick für das Wesentliche“ nehmen. Die Benutzeroberfläche des Programms wäre überfüllt und würde die eigentliche Aufgabe überlagern. Der Anwender müsste sich zuerst mit den Repräsentationsformen vertraut machen, bevor er mit der Aufgabe anfangen kann.

Lösung / Solution

In Vorlesungen und Lehrveranstaltungen muss bzw. kann aufgrund der zeitlichen Schwierigkeiten weiterhin nur auf maximal zwei Darstellungsformen zurückgegriffen werden. Dabei sollte aber immer die am häufigsten in der Fachliteratur verwendeten Formen benutzt werden um so innerhalb des Kontextes konsistent zu bleiben. Jedoch können zusätzliche Repräsentationsformen des Sachverhaltes ausgelagert werden. In Foren oder Lernplattforen können diese in fast jeder Form zur Verfügung gestellt werden. Die Lernenden können dann je nach Bedarf („on demand“) die zusätzlichen Darstellungen des Sachverhaltes abrufen.

In computergestützten Lernumgebungen kann eingestellt werden, welche Repräsentationsformen genutzt werden. Es können weitere zu- oder abgeschaltet werden und so an den jeweiligen Anwender angepasst werden. Zusätzlich kann der Lernende auch für Ihn unbekannte Darstellungen ausprobieren und so einen neuen Zugang zu dem Thema lernen.

Rationale / Theoretischer Hintergrund

Beim Lernen neuer Sachverhalte stößt man auf verschiedene Repräsentationsformen. Eine Repräsentation ist dabei lediglich „etwas das für etwas anderes steht“ Schnotz, 1994, S. 145). Bedienungsanleitungen technischer Geräte sind ebenso Repräsentationen, wie auch die Darbietung eines Lernstoffes in der Schule. Durch die Verknüpfung mehrerer Repräsentationsformen eines Inhaltes, kann ein höherer Informationsgehalt erreicht werden (Kaput, 1989). Dieser ist die Summe aus den jeweiligen Informationsgehalten der einzelnen Repräsentationen. Mehrere (multiple) Repräsentationen können sich so ergänzen (Ainsworth, 1999) und dazu beitragen ein tieferes Verständnis zu unterstützen.

Das unterschiedliche Menschen auch unterschiedliche Darstellungs- und Repräsentationsformen der zu lernenden Inhalte benötigen, kann aus den Erkenntnissen der Lernstilforschung gefolgert werden. Demnach können Inhalte, je nach Lerntyp, auditiv (durch Hören und Sprechen), optisch/visuell (durch Beobachten), haptisch (durch Fühlen und Anfassen) oder kognitiv (durch den Intellekt) (Vester, 1998) gelernt werden. Es sollte, wenn möglich, immer versucht werden die Inhalte so für jeden Lernertyp aufzubereiten, dass dieser die zu lernenden Informationen am besten aufnehmen kann.

Chandler und Sweller (1991) gehen in ihrer Cognitiv-Load-Theorie davon aus, dass das Arbeitsgedächtnis in seiner Kapazität begrenzt ist. Neue Informationen werden zunächst in dem Arbeitsgedächtnis gespeichert, dort verarbeitet und dann in das Langzeitgedächtnis übertragen wird. Zu viele verschiedene Repräsentationsformen eines Inhaltes belasten oder überlasten das Arbeitsgedächtnis und die eigentlich zu lernenden Inhalte rücken in den Hintergrund.

Examples / Beispiele

Mit dem Programm ColProof-M (Fest und Zimmermann, 2009) können Studierende einfach geometrische Beweise, z. B. den Satz des Thales, führen. Dabei sollen bereits gegebene Aussagen in die richtige Reihenfolge gebracht werden. Zum einen bekommen die Lernenden die einzelnen Aussagen in (mathematischer) Kurzform als auch ausgeschrieben als Text angezeigt. Zum anderen gibt es die Möglichkeit mit Hilfe der dynamischen Geometriesoftware Cinderella den Sachverhalt visuell darstellen zu lassen. In dieser Abbildung werden entsprechende Elemente einer Aussage bei der Auswahl hervorgehoben.

SetSails! (Zimmermann und Herding, 2010) ist eine Anwendung mit der die Äquivalenz zweier mengenalgebraischer Terme gezeigt werden soll. Neben der Darstellung der Terme findet der Benutzer auch ein Mengendiagramm der zu beweisenden Gleichung. Wahlweise kann man sich für jede Umformung auch das Mengendiagramm anzeigen lassen.

Verwandte / Related Pattern

Literatur

  1. Ainsworth, S. (1999): The functions of multiple representations. Computers & Education, 33, S. 131 – 152
  2. Chandler, P. & Sweller, J. (1991): Cognitive load theory and the format of instruction. Cognition and Instruction, 8(4), S. 293 – 332
  3. Fest, A. & Zimmermann, M. (im Druck): Werkzeuge für das individuelle Lernen in Mathematik. In: U. Kortenkamp; H.-G. Weigand, T. Weth (Hrsg.): Tagungsband der Arbeitstagungen des Arbeitskreises Mathematikunterricht und Informatik (AK MU&I) 2009. Hildesheim, Franzbecker.
  4. Kaput, J. J. (1989): Linking representations in the symbol systems of algebra, In: S. Wagner & C. Kieran (Hrsg.): Research issues in the learning and teaching of algebra (S. 167 – 194). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
  5. Schnotz, W. (1994): Aufbau von Wissensstrukturen. Untersuchungen zur Kohärenzbildung bei Wissenserwerb mit Texten. Weinheim: Psychologie Verlags Union
  6. Vester, F. (1998): Denken, Lernen, Vergessen. 25. Auflage, München: dtv
  7. Zimmermann, M. & Herding, D. (2010): Entwicklung einer computergestützten Lernumgebung für bidirektionale Umformungen in der Mengenalgebra. In: Beiträge zum Mathematikunterricht: Vorträge auf der 44. Tagung für Didaktik der Mathematik, München

Das Pattern: Help on Demand

The HELP ON DEMAND Pattern

Problem / Challenges / Motivation

Studierendeunterscheiden sich bezüglich ihrer Computernutzung und ihres Vorwissens hinsichtlich des Computereinsatzes im Mathematikunterricht. Jedoch sollten alle Studierende die Möglichkeit haben Probleme mit Computerprogrammen zu lösen, ohne zu viele Anstrengungen in das Erlernen des Programms zu stecken.

Kräfte / Forces

Häufig wird ein Programm eingeführt bevor es die Studierenden wirklich benötigen.Das führt dazu, dass einfachste Prozeduren in lange Vorführungen ausarten. Normalerweise kennen aber einige Studenten das Programm schon und können es bedienen. Für diese sind die Vorführungen unnötig und langweilig. Für Anfänger dagegen kann es zu viel Information für den Anfang sein und hinterher wissen diese nicht mehr was sie tun müssen.

Lösung / Solution

Hilfe für Technik muss dann zur Hand sein, wenn man die Informationen benötigt. In erster Linie sollte die Hilfe natürlich von Gleichgesinnten kommen. Studenten können sich gegenseitig helfen, während sie zusammen am gleichen Computer arbeiten. Tutoren können ebenso Hinweise zur Nutzung des Programms geben (vgl. The HINT ON DEMAND Pattern).

In Fällen, in denen die Studierenden das Programm alleine zu Hause nutzen, oder in denen alle Studierende hinsichtlich eines speziellen Programms Anfänger sind, sollte eine Einführung erfolgen, in der die Kernanwendungen beschrieben werden. Die Erläuterungen der Prozeduren sollten an denen der Studierenden angelehnt sein und nicht das gegebene Problem Schritt-für-Schritt lösen. Das Bearbeitungsbeispiel sollte mathematisch einfacher als das Problem sein, es sollte jedoch alle Anwendungen enthalten, die für das Problem notwendig sind. Dieser Ansatz ist Teil von LoDiC – systematische Strukturen um den Computereinsatz und grundlegende Prinzipien der Informatik zu lernen in dem an fachinhaltlichen Problemen gearbeitet wird – der von Bescherer (1) vorgestellt wurde.

Einführungen in die Anwendungen eines Programms können Benutzerhandbücher, interaktive Arbeitsblätter oder Videos sein. Diese können auf einer Lernplattform zum download bereitgestellt werden. Demzufolge können die Studierenden bei bedarf auch darauf zugreifen.

Rationale / Theoretischer Hintergrund

Die Einführung in eine Software und aller benötigten Funktionen zur Lösung eines mathematischen Problems wird anhand eines Beispiels gemacht, welches an die Aufgabe angelehnt ist. Dieses Vorgehen bezieht sich auf die Kapitel des „modelling and scaffolding“ der kognitiven Meisterlehre (cognitive apprenticeship model) welches von Collins, Brown und Newman (3) beschrieben und von Bescherer (6) diskutiert wurde. Benutzer einer Computeranwendung lesen normalerweise nicht im Voraus das Benutzerhandbuch; sie greifen darauf zurück, wenn sie ein Problem haben (4, 5). Sie benötigen zeitnahe Hilfe (just-in-time help). Obwohl integrierte Hilfefunktionen von den Benutzern meist ignoriert wird, zeigen Untersuchungen, dass die Benutzung von Hilfe bei Bedarf zu besseren Lernfortschritten führen kann (6).

Benutzerhandbücher sollten bausteinartig, anwendungsbezogen und so wenig Text wie möglich enthalten. Zudem sollten Sie Informationen zur Fehlerbehebung enthalten (7, 8). Zusätzlich können Bilder und Screenshots helfen mentale Modelle aufzubauen und Bedienelemente des Programms zu finden (9).

Bildschirmvideos sollten mit gesprochenem Text gleichzeitig zu den Ausführungen begleitet sein (modality principle, und zeitliches Kontiguitäts Prinzip, (10)). Zwar zeigen erste Untersuchungen, dass animierte Demonstrationsvideos ernüchternd sind (11), es gibt aber Anzeichen, das vorsichtig/gut erstellte Videos bessere Ergebnisse liefern, verglichen mit Benutzerhandbüchern ((12), (2)).

Examples / Beispiele

Soll man in der Geometrie die Spiegelung/Inversion am Kreis erkunden, so geht dies am besten mit einem DGS. Jedoch muss man zuvor wissen, wie man einen Kreis oder eine Lotgerade konstruiert. Dafür können Demonstrationsvideos erstellt werden.

Related Pattern

Literatur

  1. Bescherer, C.: LoDiC – Learning on Demand in Computing. In: Proceedings of 8th IFIP World Conference on Computers in Education 2005, Cape Town, 4.–7. July (2005).
  2. Spannagel, C., Girwidz, R., Löthe, H., Zendler, A. & Schroeder, U.: Animated Demonstrations and Training Wheels Interfaces in a Complex Learning Environment. Interacting with Computers, 20(1), 97–111 (2008).
  3. Collins, A., Brown, J.S., & Newman, S.E.: Cognitive Apprenticeship: Teaching the Crafts of Reading, Writing, and Mathematics. In Lauren B. Resnick (ed.), Knowing, Learning, and Instruction. Essays in Honor of Robert Glaser, pp. 453–494, Erlbaum, Hillsdale, NJ (1989)
  4. Penrose, J. M. & Seiford, L. M.: Microcomputer user’s preferences for software documentation: an analysis. Journal of Technical Writing and Communication, 18(4), 355–366 (1988).
  5. Ames, A. L.: Just what they need, just when they need it: an introduction to embedded assistance. In: S. Tilley (ed.), Communicating in the New Millenium. Proceedings of the 10th Annual International Conference on Systems Documentation, pp. 111–115, ACM, New York (2001).
  6. Aleven, V., Stahl, E., Schworm, S., Fischer, F., & Wallace, R.: Help seeking and help design in interactive learning environments. Review of Educational Research, 73(3), 277–320 (2003).
  7. Lazonder, A. W. & van der Meij, H.: The minimal manual: is less really more? International Journal of Man-Machine Studies, 39, 729-752 (1993)
  8. Albers, M. J.: Designing and writing to reduce user errors. In: Proceedings of the 50th Annual Conference of the Society for Technical Communication, 286–288, STC, Arlington (2004)
  9. Gellevij, M., van der Meij, H., de Jong, T. & Pieters, J.: Multimodal versus unimodal instruction in a complex learning context. The Journal of Experimental Education, 70(3), 215–239 (2002).
  10. Mayer, R. E.: Multimedia learning. Cambridge University Press, New York (2001)
  11. Palmiter, S. & Elkerton, J.: Animated demonstrations for learning procedural computer-based tasks. Human-Computer Interaction, 8, 193–216 (1993)
  12. Atlas, R., Cornett, L., Lane, D. M. & Napier, H. A.: The use of animation in software training: pitfalls and benefits. In: M. A. Quinones & A. Ehrenstein (eds.), Training for a rapidly changing workplace. Applicatons of psychological research, 281–302, American Psychological Association, Washington, DC (1997).

Das Muster: Feedback on Demand

The FEEDBACK ON DEMAND Pattern

Problem / Challenges / Motivation

Um einen Lernprozess richtig unterstützen zu können, darf es nicht nur eine Rückmeldung aufgrund des Endergebnisses geben. Es muss auch Feedback zu mathematischen Prozessen wie algebraischen Umformungen durch vergleichen der verschiedenen Lösungsschritten aber auch zu übergeordneten Prozessen wie Begründen, Problemlösen, Darstellen und dem Lernprozess selbst.

Diese Schwierigkeit stellt sich nicht nur in den Einführungsveranstaltungen mit einer großen Anzahl an Teilnehmern, sondern auch in kleinen Übungsgruppen. Die Tutoren können auch hier nicht alle Prozesse der 10 bis 20 Studenten gleichzeitig verfolgen. Studenten sollten aber die Möglichkeit haben ein prozessorientiertes Feedback zu erhalten, wenn sie es benötigen (Notwendigkeit kommt von den Studenten). Ebenso solle es möglich sein, dass Dozenten oder Lehrer interessante (richtige oder falsche) mathematische Prozesse auswählen können, um diese dann in den Veranstaltungen anonymisiert zu diskutieren.

Forces / Kräfte

Studenten benötigen Rückmeldungen zu ihren mathematischen Tätigkeiten und Lernprozessen um diese dann zu verbessern und um zu wissen wo sie stehen. Tutoren können maximal den Lernprozess eines Studenten oder einer Lerngruppe begleiten. Zudem kann eine Rückmeldung zu einem mathematischen Prozess komplex und zeitaufwändig sein: insbesondere müssen Lernprozesse über eine längere zeit hinweg beobachtet werden. Wurde ein Prozess diagnostiziert/ermittelt, muss das Feedback vorsichtig gewählt werden, so dass es informativ, aufmunternd und nicht einschüchternd wirkt.

Solution/Lösung

Prozesse werden von speziellen Computerprogrammen aufgezeichnet und analysiertt. Normalerweise sind an einer Lösungsfindung einer komplexen mathematischen Aufgabe mehrere unterschiedliche Prozesse beteiligt/verstrickt. Es gibt zudem mehrer „falsche Lösungswege“ wenn Studenten eine Aufgabe lösen. Es wäre also unmöglich einen Verfahren für den Computer zu entwickeln, der alle Prozesse korrekt aufzeichnet und analysiert. Stattdessen reicht es schon aus, Standardfehler und –lösungen zu ermitteln. Prozesse, die nicht automatisch eingeordnet werden können, können dann an den Dozenten oder den Tutor weitergeleitet und dort bewertet werden (semi-automated assessment; Müller, Bescherer, Kortenkamp, & Spannagel, 2006). Dies bedeutet:

  • Man benötigt Programme, die Prozesse in Anwendungen wie Dynamischen Geometriesystemen oder Tabellenkalkulationsprogrammen aufzeichnen und analysieren können. Dies können ganz allgemeine Werkzeuge sein, die die Benutzerinteraktionen innerhalb des Programms analysieren können (z.B. Jacareto; Spannagel, Gläser-Zikuda, & Schroeder, 2005) oder Auswertungsfunktionen eingebaut haben (z.B. das Testen von Gleichungen/Termen in Cinderella; Richter-Gebert & Kortenkamp, 1999).
  • Studenten müssen die Möglichkeit haben prozessnahe Rückmeldung zu bekommen, zum Beispiel indem sie auf einen „Feedback-Button“ klicken können. Wenn dass Analyseprogramm den Prozess einordnen kann, kann direkt ein e Rückmeldung gegeben werden. Ansonsten kann die Aufzeichnung des Prozesses an den Dozenten oder Tutor weitergegeben werden und dieser kann dann eine Rückmeldung geben.
  • Der Dozent sollte die Möglichkeit haben die aufgezeichneten Prozesse zu durchsuchen/überfliegen und interessante (richtige und falsche) für die nächste Veranstaltung auszuwählen. Demnach braucht es ein Repertoire an Prozessen, die von den Studierenden kommen (cf. Oppermann & Thomas, 1995). Zusätzlich müssen die aufgenommenen Prozesse in einer Form gespeichert werden, dass diese wieder vorgeführt werden können. Das kann mit „capture & replay“ - Werkzeugen wie Jacareto gemacht werden (Schroeder & Spannagel, 2006).

Rationale/Theoretischer Hintergrund

Um angemessene Rückmeldung geben zu können muss die Theorie zu Feedback und Bewertung herangezogen werden (z.B. Dempsey & Sales, 1993). Bewertung ist die „systematische bewertende Auswertung einer individuellen Fähigkeit und in einer speziellen Umgebung oder Kontext“ (übers. nach Payne, 1997, S. 474). Normalerweise wird dies aufgrund eines Produkts (Unterlagen, schriftlichen Prüfungen, Portfolios, …) oder auch auf Beobachtungen des Lehrers, mündlichen Unterrichtsbeiträgen, oder Schülerpräsentationen. Die Bewertung wird dann zu einem „formative assessment“, wenn es das Lehren und Lernen voranbringt, d.h. „das Material wird hauptsächlich dafür genutzt, dass das Lehren die Bedürfnisse des Lernens genügen (übers. nach Black et al., 2004, S. 10).

Blickt man auf die Beurteilung mathematischen Lernens, so gibt es derzeit eine weltweite Diskussion, dass Änderungen in der Lehre von Mathematik stark an Änderungen in der Bewertung mathematischen Wissens zusammenhängen. In den Assessment Standard for School, die 1995 vom National Council of Teachers of Mathematics veröffentlicht wurden, ist der Schwerpunkt auf der Beurteilung der kompletten mathematischen Fähigkeiten der Studenten anstatt nur das spezifische Wissen eines Bereichs oder vereinzelte Fähigkeiten zu beurteilen. Beurteilungen müssen als etwas Kontinuierliches und Wiederkehrendes gesehen werden und nicht als etwas Unregelmäßiges und Endgültiges (NCTM, 1995, S. 83).

Es ist wichtig, dass prozessnahe Rückmeldung informativ ist und keinerlei negative Emotionen hervorruft. Es sollte die wahrgenommene Fähigkeit der Studierenden stärken, was für die Motivation ein wichtiger Faktor darstellt (Deci & Ryan, 2002).

Halbautomatische Bewertung verringern den Anspruch automatisch alle Prozesse zu interpretieren. Stattdessen kombiniert es die Leistungsfähigkeit von Computern, Standardlösungen und -fehler zu erkennen, und die fachlichen Fähigkeiten der Tutoren und Dozenten, ungewöhnliche Lösungen zu verstehen. Für weitere Hintergrundinformationen über „intelligent assessment“, bei dem halbautomatische Bewertungen eine Teilrolle spielt, vergleiche Bescherer et al.(im Druck).

Examples/Beispiele

Das dreijährige Projekt SAiL-M (Semi-automatischen Analyse individueller Lernprozesse in der Mathematik) startete Ende 2008, finanziert vom Bundesministerium für Bildung und Forschung, arbeitet an der Umsetzung dieser Art von Rückmeldung. Zur Zeit wird an mehreren Umsetzungen gearbeitet, die ab dem Sommersemester 2009 eingesetzt werden sollen.

So entstand mittlerweile ein Beweistool für den Computer zur Bearbeitung von Beweisen. Dem Vorgehen/Der Beweismethode im Programm liegt die Idee des Zwei-Spalten-Beweises oder Listenbeweis (vgl. Holland, 2007), bei denen es vor allem auch auf die Begründungen der jeweiligen Beweisschritte an. Es werden Situationen von Standartbeweise von den Dozenten oder Tutoren vorgegeben, die die Studierenden dann lösen sollen. Die einzelnen Beweisschritte (Aussagen) müssen von den Studierenden aus einem vorgegebenen Repertoire an Aussagen sinnvoll zusammensetzen.

Der Computer kann nahe am Prozess zu den einzelnen Beweisschritten Rückmeldung geben ob Zirkelschlüsse enthalten sind, Beweisschritte oder Begründungen fehlen. Allerdings kann dies immer nur mit der Standardlösung verglichen werden, Lösungen oder Fehler die das Programm nicht erkennt werden an den Tutor oder den Dozenten weitergeleitet.

Related Patterns

Literatur

  1. Bescherer, C., Kortenkamp, U., Müller, W. & Spannagel, C.: Intelligent Computer-Aided Assessment in Mathematics Classrooms. To appear in the IFIP WG 3.3 book Theory and History, Questions and Methodology: Current and Future Issues in Research into ICT in Education (in press).
  2. Black, P., Harrison, C., Lee,C., Marshall, B., & Wiliam, D.: Working Inside the Black Box: Assessment for Learning in the Classroom. Phi Delta Kappan, 86(1), 9–21 (2004).
  3. Deci, E. L. & Ryan, R. M.: An overview of self-determination theory: an organismic-dialectical perspective. In: E. L. Deci & R. M. Ryan (eds.), Handbook of self-determination research, pp. 3–33, The University of Rochester Press, Rochester, NY (2002).
  4. Dempsey, J. V. & Sales, G. C. (eds.): Interactive Instruction and Feedback. Educational Technology Publications, Englewood Cliffs, NJ (1993).
  5. Holland, G.: Geometrie in der Sekundarstufe: Entdecken – Konstruieren – Deduzieren. Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin (2007).
  6. Müller, W., Bescherer, C., Kortenkamp, U., & Spannagel, C.: Intelligent Computer-Aided Assessment in Math Classrooms:  State-of-the-art and Perspectives. In: Proceedings of the Joint Conference of the IFIP WG 3.1, 3.2 and 3.5 at Alesund, Norwegen, Juni 2006.
  7. NCTM: Assessment Standards for School Mathematics, The National Council of Teachers of Mathematics, Reston VA (1995).
  8. Oppermann, R. & Thomas, C. G.: Learning and problem solving as an iterative process: Learner’s Living Repository: LEAR. In: C. Stephanidis (ed.), Towards user interfaces for all: current efforts and future trends. Proceedings of the ERCIM Workshop, Heraklion, Crete, Greece, 30.–31. October 1995.
  9. Payne, D. Applied Educational Assessment, Wadworth Publishing Company, Belmont, CA (1997)
  10. Richter-Gebert, J. & Kortenkamp, U.: The Interactive Geometry Software Cinderella. Springer, Heidelberg (1999).
  11. Schroeder, U. & Spannagel, C.: Supporting the Active Learning Process. International Journal on E-Learning, 5(2), 245-264, 2006.
  12. Spannagel C., Gläser-Zikuda, M., & Schroeder, U.: Application of Qualitative Content Analysis in User-Program Interaction Research. Forum Qualitative Sozialforschung / Forum: Qualitative Social Research, 6(2). Art. 29, (2005).

Das Pattern: Hint On Demand

The HINT ON DEMAND Pattern

Problem / Herausforderung / Motivation

Beim Bearbeiten anspruchsvoller mathematischer Aufgaben haben Studenten oft Schwierigkeiten. Viele von ihnen schrecken davor zurück, weil sie denken, sie könnten das nicht oder es ist zu schwer für sie. Diese Einstellung wird das Auftreten eines Problems verstärkt, das nicht sofort gelöst werden kann. Meistens würde ihnen aber nur ein Hinweis an der richtigen Stelle reichen, um die Aufgabe lösen zu können.

Dies gilt auch bei computerunterstützten Lernszenarien. Hier hat man im Allgemeinen kaum Möglichkeiten vom Programm (z.B. einer Tabellenkalkulation) Hinweise zur Lösung des mathematischen Problems zu bekommen.

Kräfte

Viele Studierenden fangen eine Aufgabe gar nicht an oder brechen diese früh ab, weil sie an einem Punkt nicht weiterkommen. Die Aufgabe stellt sich sofort als zu schwierig dar. Dies kann dazu führen, dass die Lernenden den Spaß an den Aufgaben verlieren und sich selbst immer weniger in der Mathematik zutrauen.

Oft werden zahlreiche Tipps schon zu Beginn gegeben, weil der Dozent zuvor meistens weiß, wo Schwierigkeiten liegen können. Zu viele Tipps zu Beginn können aber schwächere Studenten überfordern und verwirren. Bessere Studenten dagegen wollen vielleicht die Aufgabe lösen, ohne einen Tipp zu der Aufgabe bekommen zu haben. Zu viele Tipps zu Beginn können solche Studierenden demotivieren, weil zu viel von der Lösung „verraten“ wird. Gute Studenten wollen anschließend oft nur wissen, ob ihre Lösung „perfekt“, bzw. die Notation richtig ist. Hier sind jedoch andere Hinweise gefragt als oben beschrieben.

Lösung

Hinweise werden nur dann gegeben, wenn diese von den Lernenden aktiv angefordert werden („HINT ON DEMAND“). In Übungen oder offenen Lernumgebungen („Offener Matheraum“, Tutorensprechstunden) können Tutoren beispielsweise Hinweise auf Anfrage geben, oder die Studenten geben sich gegenseitig Tipps.

Hinweise, die sich auf Standardprobleme beziehen, werden ausgelagert. Die Tipps werden in Foren oder anderen Lernplattformen als Online-Hilfe eingestellt, die dann überall bei Bedarf abgerufen werden können. Jedoch wird man so nicht zu allen Schwierigkeiten der Lernenden ein Tipp geben (können), da nicht alle Schwierigkeiten vorausgesehen werden können und diese oft auch sehr individuell sind.

In Lernumgebungen am Computer sind Standard-Tipps gut umzusetzen (siehe FEEDBACK ON DEMAND Pattern). Beispielsweise kann ein Beweissystem auf der Basis des zugrunde liegenden Beweisgraphen dem Lernenden einen Tipp zum weiteren Vorgehen geben. Dabei muss darauf geachtet werden, dass die Aufgabe nicht durch ständiges Tippeinholen gelöst wird. Eine Schranke sollte hier die Anzahl der Tipps begrenzen.

Idealerweise sollte zudem ein Tipp erst dann erfolgen, wenn eine umfassende (aber erfolglose) Denkleistung des Lernenden vorangegangen ist. Der Lernende sollte also zuvor bereits den Problemraum exploriert haben, sodass er anschließend den Tipp auch inhaltlich verankern und seine eigenen Denkfehler berichtigen kann. Die Denkleistung des Lernenden kann dabei gefördert werden, indem die ersten Tipps zunächst in Frageform bzw. in einer offenen Form, in der noch nicht die Lösung verraten wird, gegeben werden („Haben Sie schon einmal XY versucht?“ – „Überlegen Sie einmal, wie Sie XY noch erreichen können!“). Nachfolgende Tipps können dann auch direkte Hinweise erhalten.

Außerdem können Hinweise zu Fehlern im Lösungsweg oder bezüglich der Notation gegeben werden. Zirkelschlüsse, falsche Begründungen oder das Vertauschen von Beweisschritten können so den Lernenden bewusst gemacht werden.

Theoretischer Hintergrund

Das von Collins et al. (1989) entworfene Modell der kognitiven Meisterlehre (cognitive apprenticeship) findet hier Anwendung. Im Gegensatz zum HELP ON DEMAND Pattern wird hier nicht die Lösung oder Teillösung des Problems durch den Dozenten oder Tutor gegeben, sondern der „Meister“ gibt einen Hinweis oder Tipp, der sich direkt auf Schwierigkeiten des Lernenden bezieht. Der Lernende kann daraufhin die Bearbeitung der Aufgabe fortsetzen oder die bisherige Lösung verbessern. Es wird kein Lösungsbeispiel gegeben, sondern der Lernende erhält einen Tipp, der es ihm ermöglicht, selbst auf die Lösung zu kommen.

Setzten sich Studierende an eine mathematisch anspruchsvolle Aufgabe so treten fast immer auch Schwierigkeiten auf. Stoßen sie dann auf ein Hindernis, so kann es sein, dass nach einigen erfolglosen Versuchen die Motivation verschwindet. Sie benötigen also eine Hilfe, die individuell und zeitnah ist (just-in-time help; Ames, 2001). Dadurch wird es den Lernenden ermöglicht das Problem weiter zu lösen, ohne dass zu viel Zeit zwischen dem Bearbeiten vergeht.

Beispiele

Führt man einen Induktionsbeweis, so kommt es häufig vor, dass der Induktionsanker falsch gewählt wurde oder der letzte Schritt in der Beweisführung fehlt. Oft fehlt nur ein kleiner Hinweis, wo der Anfang der Induktion gesetzt werden muss oder welcher Trick hinter der letzten Umformung steckt, und die Studenten können die Aufgabe lösen. Haben sie öfter derartige Tipps erhalten, dann kann vermutet werden, dass sie bei zukünftigen Aufgaben die analogen Probleme aus eigener Kraft lösen können. Auch bei „einfachen“ Aufgaben, die ein Ergebnis als Lösung haben, kann es genügen, wenn man nur auf den Satz hinweist, der an- oder verwendet werden soll. So reicht beim Zeichnen einer Strecke der Länge auf den Satz des Pythagoras zu verweisen. Die im Projekt SAiL-M entwickelten Programme zur Unterstützung des Lernprozesses haben eine Hinweis- bzw. Tipp-Option. Dabei kann der Anwender entscheiden, ob er entweder Hinweise zur Verbesserung der Lösung benutzen will, oder ob er sich einen Tipp einholt.

Literatur

  • Aleven, V., Stahl, E., Schworm, S., Fischer, F. & Wallace, R. (2003). Help seeking and help design in interactive learning environments. Review of Educational Research, 73(3), 277–320.
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