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MatheVital - Lineare Algebra II: Kanonisches Skalarprodukt

Wie definiert sich das kanonische Skalarprodukt? Wie berechne ich das Skalarprodukt und welche geometrischen Eigenschaften hat es?

MatheVital - Lineare Algebra II: Berechnung des kanonischen Skalarproduktes

Mit dem folgenden Applet kann man einfach für verschiedene geometrische Eingabewerte der Vektoren den Wert des Skalarproduktes berechnen

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MatheVital - Lineare Algebra II: Skalarprodukt und Nebenklassen

Ein Skalarprodukt ist in beiden Argumenten linear. Der Kern dieser Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die senkrecht auf w stehen. Die Dimension dieses Kernes ist um 1 geringer als die Dimension des umgebenden Vektrorraumes. Die Nebenklassen zu diesem Kern sind alle Parallelen zu diesem Kern. Bewegt man v entlang einer dieser Parallelen, so bleibt das Skalarprodukt konstant.

Im folgenden Applet kann man diesen Effekt nachvollziehen.

Bewegt man v entlang einer der angedeuteten Geraden (die alle senkrecht auf dem Vektor w stehen), so ändert sich das Skalarprodukt nicht.

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MatheVital - Lineare Algebra: Skalarprodukt und Vektorlängen

Mit diesem Applet kann durch Einrasten der Vektoren v und w auf dem Einheitskreis experimentell nachgewiesen werden, dass wenn ||v|| = 1 gilt der Betrag des Skalarproduktes maximal den Betrag des Vektors w und umgekehrt annehmen kann. Liegen beide Vektoren auf den Einheitskreis, so erbibt das Skalarprodukt genau den Cosinus des eingeschlossenen Winkels. Der gelbe Punkt gibt einen Wert auf der y-Achse wieder, der dem des kanonischen Skalarproduktes entspricht.

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MatheVital - Lineare Algebra II: Skalarprodukte und Projektionen

Skalarprodukte stehen in einem engen Zusammenhang mit Projektionsoperatoren. Dieses Applet verdeutlicht den Vorgang der Projektion eines Vektors v auf eine Gerade, die durch einen Vektor w aufgespannt wird. Über die Projektion von v kann in der Umkehrung das Skalarprodukt bestimmt werden.

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