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MatheVital - Lineare Algebra II: Normen

Wie sind Normen definiert? Es werden verschiedenen Normen unterschieden die jeweils bestimmte Bedingungen erfüllen müssen… Und welche geometrischen Sätze gelten in Normen?

MatheVital - Lineare Algebra II: Skalarproduktnormen

Im folgenden Applet kann man sich für verschiedene symmetrische 2 X 2 Matrizen die Menge ansehen. Diese ist blau dargestellt.

Der Rand dieser Menge ist immer ein Kegelschnitt, das Lösungsgebilde einer quadratischen Gleichung. Ist diese Menge beschränkt so ist die Abbildung positiv definiert.

Man kann die Einträge der Matrix entweder textuell oder an den Schiebereglern verändern. Durch ziehen an den Schiebereglern kann man sehr gut die Übergänge zwischen den einzelnen Fällen studieren.

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MatheVital - Lineare Algebra II: Verschiedene Normen

Ein Überblick über verschiedenen Normen:

In den folgenden Applets werden einige Normen zusammen mit "Linien gleichen Abstands" von zwei Punkten gezeigt. Nur im Falle von Normen die von Skalarprodukten herrühren werden diese Linien zu Geraden. Der Abstand zweier Punkte in einer Norm ergibt sich gemäß d(v,w) = ||v - w||.

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MatheVital - Lineare Algebra II: Der Schnittpunkt der "Mittelsenkrechten"

Auch bezüglich ungewöhnlicher Normen gelten manche geometrische Sätze. Bezeichnen wir z.B. das Gebiet gleichen Abstands zweier Punkte A und B als deren Mittelsenkrechte, so gilt immer noch der Satz, dass Mittelsenkrechten eines Dreiecks einen Punkt gemeinsam haben. Für die meisten Normen ist dieser Punkt sogar eindeutig. Hier sieht man den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks bezüglich der 4-Norm.

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MatheVital - Lineare Algebra II: Die p-Norm

Hier kann man sehen wie sich der Einheitskreis der Norm verändert, wenn man p im Wert verändert. Im Grenzfall p -> unendlich degeneriert der Enheitskreis zu einem Achsenparallelen Würfel.

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