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MatheVital - Lineare Algebra I: Interpolation und Approximation

Im folgenden werden verschiedene Interpolationsverfahren vorgestellt und aufgezeigt welche Interpolationsverfahren wofür geeignet sind.

MatheVital - Lineare Algebra I: Largrange Interpolation

Die Lagrange Interpolation kann dazu verwendet werden, ein Polynom möglichst kleinen Grades durch eine Menge von Funktionswerten zu gegeben Stützstellen zu legen. Das folgende Applet verdeutlicht das Ergebnis der Methode die Polynome für vier frei positionierbare Punkte zu bestimmen.

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MatheVital - Lineare Algebra I: Interpolation parametrisierter Kurven

Das folgende Applet zeigt die Situation, wenn als Interpolationsaufgabe eine möglichst glatte Kurve gesucht ist. Hierbei spielen Stützstellen t eine wichtige Rolle.

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MatheVital - Lineare Algebra I: Hermite Interpolation

Die folgenden Applets verdeutlichen einen Nachteil des Lagrange-Verfahren und zeigen einen alternativen Lösungsansatz.

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MatheVital - Lineare Algebra I: Interpolation algebraischer Kurven

Eine lineare Kurve wird im Wesentlichen durch zwei Parameter bestimmt, ein Kegelschnitt im Wesentlichen durch fünf Parameter, eine Kubik durch neun Parameter. Am Beispiel des Kegelschnittes soll erläutert werden, wie man die entsprechenden Parameter durch Lösen eines Gleichungssystems bestimmen kann. Die folgenden Applets demonstrieren das Verhalten eines Kegelschnittes, einer Gleichung dritten und einer Gleichung vierten Grades durch deren gegebene Punkte dar.

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MatheVital - Lineare Algebra I: Raytracing

Raytracing-Algorithmen dienen zur Darstellung dreidimensionaler realistischer Bilder. Hierbei wird der Weg von Lichtstrahlung von einer Lichtquelle bis hin zur "visuellen Darstellung" berechnet und simuliert.

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MatheVital - Lineare Algebra II: Berechnung einer Regressionsgeraden

Ziel dieses Abschnittes ist es zu erläutern, wie man zu einer gegebenen Datenmenge eine möglichst gut approximierende so genannte Regressionsgerade berechnet.

Im ersten Beispiel wird zu einer gegebenen Menge von Punkten eine Gerade bestimmt, so dass die Summe der Abstandsquadrate in y-Richtung minimiert wird.

Im zweiten Beispiel kann man experimentell nachprüfen, dass das Minimum der Quadratsumme tatsächlich von der berechneten blauen Gerade angenommen wird. Die Summe der Abstandsquadrate der Testgeraden werden im Vergleich zur Quadratsumme der Regressionsgeraden angezeigt.

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MatheVital - Lineare Algebra II: Regression bzgl. beliebiger Basisfunktionen

Das eben beschriebene Verfahren lässt sich nicht nur auf lineare Regressionsfunktionen anwenden. Im folgenden Beispiel kann man sowohl die Position der Datenpunkte als auch die Basisfunktionen verändern. Das Startbeispiel berechnet eine Regressionsparabel bezüglich der Basis 1, x , x^2

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