Interoperable interactive geometry for Europe
I forgot my login data
Register


Report a bug


Fan club

Quick Intro Videos
click to start movie
Create A Simple
GeoGebra Resource (25Mb)
click to start movie
Filing a review
click to start movie
Find a Resource

SPONSORS
This platform is brought to you by the intergeo project, funded under the eContent Plus programme of the European commission and by partners

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Geometrische Transformationen

Das Buch Indra's Pearls vom David Mumford, Caroline Series und David Wright behandelt die Theorie Klein'scher Gruppen und studiert insbesondere deren Grenzpunktmengen. Mathematisch betrachtet ergeben sich hierbei iterierte Funktionensysteme erzeugt von zwei Möbiustransformationen. Obwohl sich hinter diesen Begriffen einige abstrakte Konzepte verbergen, ist dieses Thema sehr anschaulich vermittelbar. Die folgende Sequenz von Applets führt auf elementare Art in die zu Grunde liegenden Begriffe ein. Sie kann als Begleitlektüre zum Buch verwendet werden, aber auch als Einführung in elementare Begriffe der komplexen Zahlen, der Gruppentheorie und der projektiven Geometrie.

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Geometrische Transformationen - Verschiebung (Translation)

Sind Punkte durch $xy$-Koordinaten repräsentiert, so kann eine Verschiebung um einen Verschiebungsvektor $(t_x,t_y)$ einfach durch eine Vektoraddition [ (x,y)mapsto (x+t_x,y+t_y) ] berechnet werden.

Der Verschiebevektor und die Punkte des Hauses im Applet sind frei bewegbar.

Preview of the Resource in Action

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Geometrische Transformationen - Drehung (Rotation)

Eine Drehung eines Vektors um den Nullpunkt kann durch Multiplikation dieses Vektors mit einer Matrix erreicht werden.

Preview of the Resource in Action

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Geometrische Transformationen - Drehungstreckung

Eine Drehstreckung entsteht aus der Kombination einer Drehung mit einer Streckung oder Stauchung.

Liegt das Drehzentrum im Koordinatenursprung, so lässt sich auch hier die Transformation als Matrixmultiplikation darstellen.

Ebenso wie bei der Drehung gilt: "Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren".

Preview of the Resource in Action

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Geometrische Transformationen - Geraden- und Punktspiegelung

Eine weitere wichtige Klasse von geometrischen Abbildungen sind Spiegelungen. Man kann, wie oben dargestellt, an Geraden (Achsen) und Punkten spiegeln; die Punktspiegelung ist nichts anderes als eine Drehung um 180°.

Preview of the Resource in Action

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Geometrische Transformationen - Kreisspiegelungen

Die wohl interessanteste hier behandelte Abbildung ist die Kreisspiegelung, auch Kreisinversion genannt. Für einen gegebenen Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r definieren wir die Kreisspiegelung eines Punktes A über die Gleichung

OA x OA' =r^2

Hierbei soll der Punkt A' von O aus gesehen in der gleichen Richtung wie A liegen.

In dem obigen Applet kann man den Punkt A bewegen und dabei das Bild A' beobachten. Fährt man den Kreis oder das Haus im rechten Applet mit dem Punkt A ab, so sieht man, wie das Bild entsteht.

Die Kreisspiegelung hat bemerkenswerte Eigenschaften:

  • Kreise werden auf Kreise (oder Geraden) abgebildet,
  • Geraden werden auf Kreise (oder Geraden) abgebildet.
Fasst man Kreise als Geraden mit unendlich großem Radius auf, so kann man zusammenfassen: Kreise werden auf Kreise abgebildet!

Weiterhin bleibt unter der Kreisinversion der Schnittwinkel von Objekten erhalten. Man kann im obigen Beispiel auch die Kreise und das Haus bewegen, um die Auswirkung der Kreisspiegelung besser zu verstehen. Hier ein paar interessante Sonderfälle:

  • Kreise durch den Mittelpunkt des Spiegelkreises werden auf Geraden abgebildet.
  • Geraden werden auf Kreise durch den Mittelpunkt abgebildet.
  • Kreise, die senkrecht auf dem Rand des Spieglungskreises stehen, werden auf sich selbst abgebildet.
  • Die Kreisspiegelung vertauscht das Innere und das Äußere des Spiegelkreises.
  • Der Mittelpunkt des Spiegelkreises wird "ins Unendliche" abgebildet.

Preview of the Resource in Action