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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Beispiele

Beispiele aus der Thematik

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Beispiele - Das Band

In folgenden Applet haben wir diese Situation dargestellt. Zwei der Kreise (die unendlich großen) sind die blauen Geraden. Die anderen beiden Kreise sind genau eingepasst. Die Lage und Größe der Kreise lässt sich mit den weißen Punkte verändern. Darauf basierend haben wir zwei besonders einfache Möbiustransformationen ausgewählt: Die erste ist die Parallelverschiebung der einen Parallele auf die andere. Die zweite Transformation bildet die drei Punkte des oberen Kreises auf die des unteren Kreises ab. Eine besonders reizvolle Situation ergibt sich, wenn sich die beiden kleinen Kreise berühren. Verschiebt man die Kreise über den Berührpunkt weiter, so gibt es Positionen, in denen die erzeugte Grenzpunktmenge besonders "gut aufgeht". Es entstehen dann zwischen den beiden horizontalen Begrenzungen scharf abgegrenzte Ketten von schwarzen Kreisen (,die gerade nicht zur Grenzpunktmenge gehören).

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Beispiele - Das Band mit Twists

Wir lassen nun einen weiteren Parameter zu. Im unten stehenden Applet ist einer der Punkte auf den kleinen Kreisen, der zur Definition der Möbiustransformationen benutzt wurde, frei auf dem Kreis beweglich. Dadurch ist es möglich, gezielt spiralartige Formen in der Grenzpunktmenge zu erzeugen. Hier lohnt es sich einerseits zu warten, bis sich die erzeugte Grenzpunktmenge etwas verdichtet hat, andererseits lohnt sich natürlich wie immer das Spielen an den freien Parametern der Konstruktion.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Beispiele - Das Collier

Die beiden Geraden des letzten Beispiels waren ja ursprünglich unendlich große Kreise, die sich im Unendlichen berühren. An Stelle dieser beiden Geraden können wir auch zwei sehr große Kreise nehmen, die sich tangential berühren. Dies haben wir im nächsten Applet getan. Hier zeigen wir zunächst die Version, bei der noch keine Freiheit in der konkreten Wahl der Möbiustransformationen gegeben wird. Alles ist durch die Position der Kreise und eine zusätzliche Symmetrieforderung festgelegt. Die Parameter sind am Punkt links unten und am Mittelpunkt eines der roten Kreise einstellbar.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Beispiele - Feinarbeit am Collier

Auch hier hat man natürlich wieder die Freiheit, die Möbiustransformationen an deren Kontrollpunkten zu variieren. Im Applet wird diese Freiheit für eine der Möbiustransformationen gegeben. Wieder ergeben sich spiralartige Strukturen -- viel Spaß beim Spielen!

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Beispiele - Und noch ein Freiheitsgrad

Wir haben immer noch nicht alle möglichen Freiheiten ausgenutzt: Auch die zweite Möbiustransformation kann noch variiert werden. Diesmal bricht die äußere kreisartige Struktur auf und wird selbst zur Spirale …

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Beispiele - Großmutters Rezept

Im Buch Indra's Pearls wird ein spezielles "Rezept" angegeben, mit dem man

  • besonders schöne symmetrische Grenzpunktmengen erhält,
  • bis auf eine globale Möbiustransformation alle Beispiele erhält,
  • alles durch zwei übersichtliche (komplexwertige) Parameter beschreiben kann.
Die beiden Parameter, die hierbei verwendet werden, sind die Spuren $ta$ und $tb$ der Matrizen, welche die ursprünglichen Möbiustransformationen beschreiben. Das Bild ist dann komplett durch die Angabe dieser beiden Zahlen bestimmt.

Im folgenden Applet wird die entsprechende Grenzpunktmenge durch die Angabe der beiden Werte angezeigt. Realteil und Imaginärteil dieser beiden Spuren können über die Schieberegler eingestellt werden, oder man kann die Werte direkt in die unten stehenden Textfelder eingeben. Die Textfelder verstehen auch Formeln.

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