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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Funktionensysteme

Wir haben gesehen, dass bei zwei iterierten Drehstauchungen beliebige Objekte gegen eine Grenzpunktmenge gezogen werden. Das Buch Indra's Pearls beschäftigt sich sehr ausführlich mit der Erzeugung von Grenzpunktmengen verschiedener Transformationsgruppen. Es resultiert daraus ein relativ rechenintensives Verfahren, das sehr hochwertige und exakte Bilder liefert.

Für die interaktiven Materialien in diesem Tutorial müssen wir hier auf die perfekte Darstellung zu Gunsten von "Echtzeit-Interaktivität" verzichten. Glücklicherweise gibt es einen Trick, mit dem man ohne allzu großen Rechenaufwand eine recht gute Näherung and die echte Grenzpunktmenge erzeugen kann: randomisiert erzeugte iterierte Funktionensysteme (kurz IFS). Das klingt zunächst abschreckend; dahinter verbirgt sich aber ein einfaches Prinzip, das im Folgenden ausführlich erläutert wird.

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Funktionensysteme - Ein kleiner Vorgeschmack

Zunächst wollen wir uns als kleinen Vorgeschmack die Grenzpunktmenge zu unserem letzten Beispiel genauer ansehen. Das folgende Applet berechnet über ein IFS diese Grenzpuntkmenge.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Funktionensysteme - Eine IFS-Pflanze

Anwendung der Transformationen auf einen einzigen Punkt mit Verbindung der Punkte, die durch eine der Basistransformationen aufeinander abgebildet werden.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Funktionensysteme - Wie ein IFS entsteht

Das folgende Applet demonstriert am Beispiel der im letzen Kapitel betrachteten Abbildungen die Erzeugung des IFS. Die Abbildungen f1, f2 seien dabei bereits vorher festgelegt. Mit dem Schieberegler kann man die Zahl der verwendeten Iterationen einstellen. Man beobachtet, dass für kleine Punktanzahlen zunächst noch keine Struktur erkennbar ist, dass sich aber für große Punktmengen deutlich die Struktur der Grenzpunktmenge abzeichnet.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Funktionensysteme - Die Rolle der Wahrscheinlichkeit

m folgenden Applet kann man diesen Effekt erforschen: Es wird ein IFS aus zwei Drehstauchungen gebildet. Die erste bildet die schwarze Strecke $overline{AB}$ auf die blaue Stecke $overline{AC}$ ab. Die zweite Transformation bildet $overline{AB}$ auf die rote Strecke $overline{DE}$ ab. Mit dem Schieberegler kann man die Wahrscheinlichkeit der Wahl einer der beiden Transformationen beeinflussen. Man stellt fest, dass sich nur für eine spezielle Wahl der Wahrscheinlichkeiten befriedigende Bilder ergeben. Wird die rote Transformation zu häufig verwendet, so wird das Fraktal in der Mitte zu stark ausgedünnt. Wird die blaue Transformation zu stark gewichtet, so gehen die Strukturen in den Randbereichen verloren.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Funktionensysteme - IFS aus zwei Ähnlichkeitstransfor...

Wir haben ein paar Beispiele vorbereitet, die zeigen, welche Gebilde man als IFS aus zwei Ähnlichkeitstransformationen erhalten kann.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Funktionensysteme - Der Barnsley-Farn

Ein weiteres sehr prominentes IFS ist der so genannte Barnsley Farn. Die Konstruktion beruht auf der Beobachtung, dass die Blätter eines Farnes selbst wie ein kleiner Farn aussehen. Das Bild ist selbsterklärend.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Funktionensysteme - IFS aus zwei Möbiustransformation...

Bisher haben wir für die iterierten Funktionensysteme zumeist nur Drehstauchungen miteinander kombiniert, also recht einfache Abbildungen. Wenn wir nun zu den allgemeinsten Abbildungen, die wir bislang kennen gelernt haben, übergehen, so sollten wir noch interessantere IFS produzieren können.

Unglücklicherweise wird man aber vom dann möglichen Formenreichtum geradezu erschlagen und sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

Das Applet unten zeigt ein IFS aus zwei Möbiustransformationen. Die Möbiustransformationen entstehen als Abbildungen von (A,B,C) auf (A,C,D) (erste Transformation) und von (B,A,C) auf (B,C,E) (zweite Transformation). Das Variieren der Parameter zeigt schnell, wie formenreich, aber auch wie unübersichtlich die Menge dieser Fraktale ist.

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