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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Möbiustransformationen

Das Buch Indra's Pearls beschäftigt sich mit iterierten Funktionensystemen, die von zwei Möbiustransformationen und deren Umkehrabbildungen erzeugt werden. Die Klasse der zugehörigen Grenzpunktmengen ist dabei extrem reichhaltig. Besonders interessante Situationen (sowohl mathematisch als auch ästhetisch!) ergeben sich, wenn man ganz bestimmte Möbiustransformationen wählt.

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Möbiustransformationen - Zwei Kreise

Wir beginnen mit der Situation, die wir im Kapitel Möbiustransformation aus drei Punkten bereits kennengelernt haben. Gegeben seien zwei disjunkte (also sich nicht überlappende) Kreise und jeweils drei Punkte auf dem Rand, die der Reihe nach aufeinander abgebildet werden. Das Applet verdeutlicht nochmals diese Situation (die Randpunkte, Kreismittelpunkte und Radien der Kreise sind veränderbar). Der grüne Punkt wird unter dieser Transformation und ihrer Umkehrabbildung iteriert abgebildet.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Möbiustransformationen - Schottky-Kreise

Nun kombinieren wir zwei der im vorherigen Abschnitt beschriebenen Möbiustransformationen miteinander. Das folgende Applet zeigt vier Kreise, die paarweise über drei Kreispunkte aufeinander abgebildet werden. Es sind auch die ersten Iterations-Schritte der Bilder dieser Kreise angedeutet; ebenso die aus diesen Transformationen entstehende Grenzpunktmenge.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Möbiustransformationen - Der Schottky-Kreistanz

Wir wollen uns erst einmal ansehen, was beim iterierten Abbilden der Kreise genau passiert. Das nächste Applet zeigt die vier Kreise und die dazu gehörigen Kreispunkte, über die die Möbiustransformationen festgelegt sind. Insgesamt haben wir also vier Möbiustransformationen - zu jedem der beiden diagonal gegenüber liegenden Kreispaare betrachten wir die Transformation und die Umkehrabbildung.

Bildet man alle vier Kreise mit diesen vier Möbiustransformationen ab, so gibt es für jeden Kreis eine Transformation, die ihn auf seinen entsprechenden "Partner" abbildet. Die restlichen drei Transformationen bilden den Kreis in das Innere der andern drei Kreise ab. Führt man dies für jeden der Kreise durch, so entsteht im Inneren jedes Kreises je ein Bild für jeden der drei anderen Kreise. Bildet man nun wiederum diese Kreise ab (d.h. erhöht man die Iterationstiefe), so entstehen in diesen abgebildeten Kreisen wiederum Kreise.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Möbiustransformationen - Grenzpunktmengen

Wir wollen uns die Grenzpunktmengen der durch Schottky-Kreise erzeugten Transformationsgruppen genauer ansehen. Auf den ersten Blick sehen diese Grenzpunktmengen nicht extrem spektakulär aus.

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