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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Komplexe Zahlen-

Eine ganze komplexe Zahl ist eine Zahl der Form $a+icdot b$, bei der sowohl der Realteil $a$ als auch der Imaginärteil $b$ eine ganze Zahl ist. Addition und Multiplikation zweier ganzer komplexer Zahlen erzeugt wieder eine ganze komplexe Zahl.

In den folgenden Applets sind die Zahlen $a$ und $b$ auf dem ganzzahligen Gitter bewegbar.

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Komplexe Zahlen - Addition und Multiplikation (ganzzahlig)

Beide Operationen kann man einfach herleiten, indem man zunächst $i$ als eine (Maß-)Einheit auffasst, nach den normalen Rechenregeln ausklammert und dann wie üblich zusammenfasst, dabei aber beachtet, dass die Regel $i^2 =-1$ gilt.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Komplexe Zahlen - Komplexe Addition und Multiplikation (allgeme...

Sowohl die Addition als auch die Multiplikation komplexer Zahlen hat eine direkte geometrische Interpretation. Während die Addition eines konstanten Summanden eine Verschiebung bewirkt, lässt sich eine komplexe Multiplikation mit einem konstantem Faktor als Drehstreckung interpretieren.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Komplexe Zahlen - Komplexe Konjugation

Eine weitere wichtige grundlegende Operation ist die komplexe Konjugation. Diese ordnet einer komplexen Zahl $a=x+iy$ die komplexe Zahl $overline{a}:=x-iy$ zu, bei welcher der Imaginärteil negiert wurde.

Geometrisch entspricht die komplexe Konjugation einer Spiegelung an der reellen Achse.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Komplexe Zahlen - Potenzen einer komplexen Zahl

Multipliziert man eine komplexe Zahl $a$ wiederholt mit sich selbst, so entstehen der Reihe nach die Potenzen von $a$: [ a,a^2,a^3,a^4,a^5,ldots ] Da bei jeder Multiplikation die nächste Potenz um den gleichen Winkel gedreht und um den gleichen Faktor gestaucht wird, liegen die zu den Potenzen gehörenden Punkte auf einer Spirale: einer logarithmischen Spirale.

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