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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Möbiustransformationen

… oder: Eine für alle!

Wir haben gesehen, dass sich viele interessante Abbildungen als komplexe Funktionen schreiben lassen. Insbesondere die bekannten Transformationen (Drehung, Drehstreckung, Verschiebung) . Allen diesen Transformationen ist gemeinsam, dass sie die Menge der Kreise und Geraden auf die Menge der Kreise und Geraden abbilden. Dies muss also auch dann gelten, wenn man mehrere solche Transformationen nacheinander ausführt.

Mit ein wenig Rechnerei kann man zeigen, dass die beliebige Hintereinanderausführung der oben genannten Transformationen (Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen, Streckungen, Kreisinversionen) sich immer auf eine von zwei möglichen Gestalten bringen lässt.

Der erste Fall entsteht, wenn eine gerade Anzahl von Kreis- oder Geradenspiegelungen beteiligt ist. Der zweite Fall entsteht, wenn eine ungerade Anzahl beteiligt ist.

Die erste Transformationsart heißt Möbiustransformation. Die zweite Transformationsart heißt Anti-Möbiustransformation. Die Parameter sind hierbei fast frei wählbar. Nur eine Bedingung sollten sie erfüllen: die Determinante darf nicht Null werden, denn sonst ist die Abbildung nicht mehr umkehrbar.

Geometrie der Möbiustransformation Möbiustransformationen sind die zentralen Objekte im Buch Indra's Pearls. Das folgende Applet zeigt, wie es Dr. Stickler unter einer iterierten Möbiustransformation ergeht. Die Parameter sind wieder frei wählbar.

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Möbiustransformationen

Man sieht, dass die Abbildung recht komplex ist. Sie hat zwei spiralige Drehzentren, und ein leichtes Verändern der Parameter verändert die Geometrie der Abbildung gewaltig. Dr. Stickler scheint aus dem einen Spiralzentrum herauszukommen und in das andere hineingezogen zu werden.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Möbiustransformationen - Inverse einer Möbiustransformation

Das folgende Applet zeigt Dr. Stickler (blau), die Iteration einer Möbiustransformation (rot) und die Iteration der Umkehrabbildung (grün). Man erkennt, dass die ursprüngliche Abbildung auf das eine Spiralzentrum hinläuft, während die Umkehrabbildung auf das andere Spiralzentrum zuläuft.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Möbiustransformationen aus dem Bild dreier Punkte

Die sechs reellen Freiheitsgrade können so interpretiert werden, dass im Allgemeinen eine Möbiustransformation durch die drei Bilder dreier Punkte eindeutig festgelegt ist.

Das folgende Applet demonstriert diesen Effekt.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Möbiustransformationen aus zwei Fixpunkten

Eine besonders übersichtliche Darstellung ergibt sich, wenn wir die Möbiustransformation über das Bild dreier Punkte beschreiben, wobei zwei der Punkte bereits die Fixpunkte sind. Wir erhalten also folgende Bild-Urbild Beziehungen: A-A' , B-B' , C-C'

Die gesamte Information der Möbiustransformation ist also in der Position von A und B sowie der Relation von C zu D enthalten.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Möbiustransformationen - Feldlinien

Nicht zufällig generierten die bisherigen Möbiustransformationen immer eine Art "Fluss" von Objekten. Das folgende Beispiel zeigt, wie eine Möbiustransformation einen Fluss auf der Ebene induziert. Jeder Pfeil gibt eine Bild-Urbildbeziehung der Möbiustransformation an.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Möbiustransformationen und Stereographische Projektion

Bei Youtube» gibt es einen wunderschönen Film von Douglas N. Arnold, der die Reichhaltigkeit von Möbiustransformationen demonstriert. Hier wird auch der Zusammenhang zwischen Möbiustransformationen und stereographischen Projektionen gezeigt und erklärt, welche Rolle hierbei dreidimensionale Einbettungen spielen.

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