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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Transformationsgruppen

Bislang haben wir lediglich betrachtet, was passiert, wenn ein Objekt (z.B. Dr. Stickler) mit einer Bewegungsoperation und deren Umkehrabbildung iteriert abgebildet wird.

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Transformationsgruppen - Zwei Translationen

Dieses Applet zeigt die Situation für eine Verschiebung in Richtung der reellen Achse.

Was passiert nun, wenn wir statt nur einer Transformation zwei verschiedene Transformationen zulassen? Abhängig davon, welche Transformationen wir wählen, erhalten wir dabei sehr unterschiedliche (und oftmals sehr hübsche) Strukturen.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Transformationsgruppen - Dr. Stickler im Spiegelkabinett

Durch die vielen Spiegelungen vervielfältigen sich die Spiegelachsen des Bildes. Neben den beiden Originalspiegeln entstehen "gespiegelte Spiegel", "gespiegelte gespiegelte Spiegel" und so weiter. In die Zeichnung sind alle Spiegelsymmetrieachsen des Bildes (das man sich nach beiden Seiten natürlich ins Unendliche fortgesetzt denken muss) eingezeichnet.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Transformationsgruppen - Winkelspiegel

Sobald unsere Spiegel nicht mehr parallel sind oder gar senkrecht zueinander stehen, ändert sich die Situation drastisch.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Transformationsgruppen - Kaleidoskope

Was passiert, wenn man nicht nur zwei Spiegel, sondern drei Spiegel verwenden will? Ordnet man drei Spiegel so im Dreieck an, dass an jeder Ecke ein passender Winkel entsteht (also ein ganzzahliger Teiler von 180°), so gibt es dafür nicht sehr viele Möglichkeiten: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, somit kommen als einzige Möglichkeiten die Kombinationen (60°, 60°, 60°), (90°, 45°, 45°) und (90°, 60°, 30°) in Frage. Die drei folgenden Applets demonstrieren die drei daraus entstehenden Ornamentgruppen.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Transformationsgruppen - Ornamentgruppen

Die Vielfalt der Ornamentgruppen ist mit unseren bisherigen Betrachtungen noch lange nicht erschöpft. Ornamentgruppen spielen eine sehr wichtige Rolle in der Festkörperphysik und werden deshalb auch oftmals als "Kristallographische Gruppen" bezeichnet.

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Transformationsgruppen - Iterierte Ähnlichkeitstransformationen...

Bisher haben wir nur Transformationen miteinander verknüpft, welche die Größe der Objekte nicht verändert haben. Drehstreckungen und Kreisinversionen kommen in Ornamentgruppen explizit nicht vor. Das hat auch einen guten Grund: Wenn die Größe eines Objektes durch die Transformation nicht erhalten bleibt, ist es schwierig, die Transformationen so anzuordnen, dass die entstehenden Strukturen nicht chaotisch werden.

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