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Convergence simple vs Convergence uniforme

Visualisation de la convergence de deux suites de fonctions vers la fonction nulle sur un intervalle : convergence simple pour la première suite, uniforme pour la seconde.

La convergence uniforme est une chose parfois difficile à appréhender. Une "visualisation" dynamique peut permettre de vaincre les réticences… Considérons les suites de fonctions suivantes : Sur la figure , on a représenté en rouge la courbe de fn, et en vert celle de gn. On peut augmenter ou diminuer n (et voir ainsi l'évolution des courbes) grâce au curseur bleu.

Les deux familles de courbe ne se comportent pas du tout de la même façon. Elles ont tout de même un point commun :

  • (fn) et (gn) convergent simplement vers 0. Ceci se traduit graphiquement par la constatation suivante : si vous prenez n'importe quel point x de 0,1?, et si vous regardez fn(x) (ou gn(x)), sans se préoccuper des valeurs ailleurs, vous constatez que ces réels tendent vers 0.
  • (gn) converge uniformément vers 0, mais pas (fn) : en effet, la convergence uniforme mesure l'écart maximal entre la fonction et la limite. Ici, l'écart maximal est représenté par la bosse. Pour la suite de fonctions gn, cette bosse se ratatine sur l'axe des abscisses: c'est que l'on a convergence uniforme. Pour la suite de fonctions fn, la bosse persiste. Ainsi, l'écart maximal entre fn et sa limite 0 reste grand, et on n'a pas convergence uniforme.
Version originale : http://i2geo.net/xwiki/bin/view/Coll_cdording/ConvergenceSimpleVsConvergenceUniforme

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