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Problème de Tzitzeica amélioré

« Problème de Tzitzeica » est une activité proposée pour les élèves du deuxième cycle, 3e ou 4e secondaire selon le « Programme de formation de l’école Québécoise » du Canada. Le but de cette activité est d’exploiter les avantages des logiciels de géométrie dynamique comme GeoGebra afin d’observer les caractéristiques invariantes aux déplacements de certaines figures de la géométrie plane. À la fin de l’activité l’élève doit comprendre la validation conjecturale du problème de pièce de monnaie de Tzitzeica, qui est inspiré d’un contexte intra-mathématique réel. Le thème en question est relié aux propriétés des cercles en rapport avec la géométrie descriptive. La compétence disciplinaire envisagée est « Déployer un raisonnement mathématique », dont la composante principale est « Établir des conjectures » selon le PFÉQ. Les heuristiques possibles sont la résolution par essai-erreur et par expérimentation avec une solution possible. Cette activité se réalise individuellement, au laboratoire d’informatique doté du logiciel GeoGebra, sur une période de 75 minutes. Pour réaliser les tâches prévues, l’élève doit déjà connaitre la distinction entre différents types de raisonnement, inductif versus déductif, ainsi que les caractéristiques des triangles scalènes. Il doit aussi être capable de manipuler les instructions de base du logiciel GeoGebra (ouvrir le fichier, tracer des droites, des cercles, etc.).

Le problème de Tzitzeica a une histoire ludique et intéressante. Il permet d’appliquer amplement les avantages dynamiques du logiciel et de « mimer » sa découverte : Tzitzeica manipulait les pièces de monnaie, l’élève déplace les cercles à l’aide du logiciel. Le défie conjectural reste pareil. Cependant, le problème sollicite la créativité et l’intuition géométrique de l’élève (la démonstration est pourtant inabordable à ce niveau d’étude).

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