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Christopher Heck

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MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Beispiele
Beispiele aus der Thematik
MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Möbiustransformationen
Das Buch Indra's Pearls beschäftigt sich mit iterierten Funktionensystemen, die von zwei Möbiustransformationen und deren Umkehrabbildungen erzeugt werden. Die Klasse der zugehörigen Grenzpunktmengen ist dabei extrem reichhaltig. Besonders interessante Situationen (sowohl mathematisch als auch ästhetisch!) ergeben sich, wenn man ganz bestimmte Möbiustransformationen wählt.
MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Iterierte Funktionensysteme
Wir haben gesehen, dass bei zwei iterierten Drehstauchungen beliebige Objekte gegen eine Grenzpunktmenge gezogen werden. Das Buch Indra's Pearls beschäftigt sich sehr ausführlich mit der Erzeugung von Grenzpunktmengen verschiedener Transformationsgruppen. Es resultiert daraus ein relativ rechenintensives Verfahren, das sehr hochwertige und exakte Bilder liefert.

Für die interaktiven Materialien in diesem Tutorial müssen wir hier auf die perfekte Darstellung zu Gunsten von "Echtzeit-Interaktivität" verzichten. Glücklicherweise gibt es einen Trick, mit dem man ohne allzu großen Rechenaufwand eine recht gute Näherung and die echte Grenzpunktmenge erzeugen kann: randomisiert erzeugte iterierte Funktionensysteme (kurz IFS). Das klingt zunächst abschreckend; dahinter verbirgt sich aber ein einfaches Prinzip, das im Folgenden ausführlich erläutert wird.

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Transformationsgruppen
Bislang haben wir lediglich betrachtet, was passiert, wenn ein Objekt (z.B. Dr. Stickler) mit einer Bewegungsoperation und deren Umkehrabbildung iteriert abgebildet wird.
MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Möbiustransformationen
… oder: Eine für alle!

Wir haben gesehen, dass sich viele interessante Abbildungen als komplexe Funktionen schreiben lassen. Insbesondere die bekannten Transformationen (Drehung, Drehstreckung, Verschiebung) . Allen diesen Transformationen ist gemeinsam, dass sie die Menge der Kreise und Geraden auf die Menge der Kreise und Geraden abbilden. Dies muss also auch dann gelten, wenn man mehrere solche Transformationen nacheinander ausführt.

Mit ein wenig Rechnerei kann man zeigen, dass die beliebige Hintereinanderausführung der oben genannten Transformationen (Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen, Streckungen, Kreisinversionen) sich immer auf eine von zwei möglichen Gestalten bringen lässt.

Der erste Fall entsteht, wenn eine gerade Anzahl von Kreis- oder Geradenspiegelungen beteiligt ist. Der zweite Fall entsteht, wenn eine ungerade Anzahl beteiligt ist.

Die erste Transformationsart heißt Möbiustransformation. Die zweite Transformationsart heißt Anti-Möbiustransformation. Die Parameter sind hierbei fast frei wählbar. Nur eine Bedingung sollten sie erfüllen: die Determinante darf nicht Null werden, denn sonst ist die Abbildung nicht mehr umkehrbar.

Geometrie der Möbiustransformation Möbiustransformationen sind die zentralen Objekte im Buch Indra's Pearls. Das folgende Applet zeigt, wie es Dr. Stickler unter einer iterierten Möbiustransformation ergeht. Die Parameter sind wieder frei wählbar.

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Komplexe Abbildungen
Im folgenden Applet kann man erproben, wie komplexe Funktionen eine komplexe Zahl $z$ abbilden.
MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Komplexe Zahlen-
Eine ganze komplexe Zahl ist eine Zahl der Form $a+icdot b$, bei der sowohl der Realteil $a$ als auch der Imaginärteil $b$ eine ganze Zahl ist. Addition und Multiplikation zweier ganzer komplexer Zahlen erzeugt wieder eine ganze komplexe Zahl.

In den folgenden Applets sind die Zahlen $a$ und $b$ auf dem ganzzahligen Gitter bewegbar.

MatheVital - Interaktive Materialien zum Buch Indra's Pearls: Geometrische Transformationen
Das Buch Indra's Pearls vom David Mumford, Caroline Series und David Wright behandelt die Theorie Klein'scher Gruppen und studiert insbesondere deren Grenzpunktmengen. Mathematisch betrachtet ergeben sich hierbei iterierte Funktionensysteme erzeugt von zwei Möbiustransformationen. Obwohl sich hinter diesen Begriffen einige abstrakte Konzepte verbergen, ist dieses Thema sehr anschaulich vermittelbar. Die folgende Sequenz von Applets führt auf elementare Art in die zu Grunde liegenden Begriffe ein. Sie kann als Begleitlektüre zum Buch verwendet werden, aber auch als Einführung in elementare Begriffe der komplexen Zahlen, der Gruppentheorie und der projektiven Geometrie.
MatheVital - Mathematische Strukturen in der Musik
Musik hat erstaunlich viel mit Mathematik zu tun. Angefangen von den physikalischen Grundlagen beim Erzeugen von Tönen, über Zusammenhänge von Saitenlänge und Tonhöhe bei Zupfinstrumenten, über Theorie von Intervallen und Harmonien bis hin zu Frequenzverhältnissen bei Stimmungen und Grundlagen von Rhythmen. In der folgenden Sammlung von Applets kann man diesen Zusammenhängen nachspüren. Hierbei haben fast alle Applets auch eine Klangausgabe und fordern zum genauen (und aktiven) Hinhören auf. Die Applets sind sowohl für Mathematiker als auch für Musiker gedacht und natürlich für alle, die sich für Zusammenhänge dieser beiden Gebiete interessieren.
MatheVital - Mathematische Strukturen in der Musik: Von der Schwingung zu Ton
interaktives Tutorial zur Vernetzung von Frequenzen und Tonhöhen. Weiterhin werden behandelt Schwebungen, Interferenzen und verschiedene Reintöne
MatheVital - Mathematische Strukturen in der Musik: Vom Ton zum Klang
Interaktives Tutorial zur Visualisierung von Harmonien.
MatheVital - Mathematische Strukturen in der Musik: Vom Ton zur Melodie
Interaktives Tutorial zur Visualisierung verschiedener Melodien. Man erlebt hier die Verbindung zwischen der Mathematik und dem eigenen Musizieren
MatheVital - Mathematische Strukturen in der Musik: Rhythmus
Interaktives Tutorial zum erstellen eigener Schlagmuster auf mathematischer Ebene.
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