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Review for "L'enseigne"

Global comment:

Review filed on 2010/03/21 08:28 by bclerc.

Le problème posé aux élèves est le problème dit de "L’enseigne". C’est un problème que j’ai découvert au printemps 2009 lorsque Nicolas Moreau était en train de le finaliser pour ses classes de troisième Lenseigne_1">2?. Nicolas s’est inspiré du travail réalisé par Marie-Claire Combes et Jacques Salles 3?, pour la classe de seconde, dans le cadre du groupe Irem Intégration des Outils Informatiques de l’IREM de Montpellier et du groupe INRP e-CoLab, publié dans la brochure INRP "Mathématiques dynamiques".
This review concludes a trial in classroom.


Usage conditions

Hardware setup

  • one computer by small learner group

Learner organization

    • group work

More about the context of usage (free comments):

Les élèves ont déjà été initiés à l’utilisation de la calculatrice graphique pour représenter des fonctions, afficher un tableau de valeurs et utiliser la fonctionnalité TRACE. Ils se sont déjà connectés à l’application Mathenpoche pour travailler sur une séance d’exercices 4?. Pour l’instant, ils n’ont pas utilisé de logiciel de géométrie dynamique, de tableur ou de logiciel de calcul formel dans le cours de mathématiques en seconde, mais la majorité d’entre eux ont utilisé au collège un logiciel de géométrie dynamique et un tableur.

Plutôt que de laisser patauger les élèves, et pour fixer les esprits, j’ai accompagné l’énoncé du problème du texte suivant : Outils à votre disposition :

  • une (des) feuille(s) de brouillon ;
  • une feuille de copie pour le groupe à rendre en fin de séance ;
  • le contenu de votre classeur de mathématiques ;
  • le matériel de géométrie ;
  • la calculatrice graphique ;
  • un tableur (OpenOfficeCalc ou Excel) ;
  • un logiciel de géométrie dynamique : Geogebra (sur le bureau de l’ordinateur) ou Tracenpoche utilisable en ligne http://tracenpoche.sesamath.net/fla...
  • une séance Mathenpoche :
  1. Aide animée : aire du carré et du rectangle
2. Aide animée : aire de figures usuelles 3. Exprimer en fonction de x 4. De l’aide en calcul littéral (développer, factoriser, résoudre une équation, ...) 5. Calcul formel avec XCAS : logiciel qui permet de faire du calcul littéral 6. Fonctions et calculatrices graphiques TI et Casio : de l’aide 7. Tracenpoche : Figure à manipuler 8. Tracenpoche : Figure à compléter en utilisant les fonctionnalités du logiciel

Au sujet de cette séance Mathenpoche :

Les deux premiers liens

  1. Aide animée : aire du carré et du rectangle
2. Aide animée : aire de figures usuelles

ouvrent sur des aides animées de l’application Mathenpoche dans lesquelles une animation rappelle le calcul de l’aire d’un rectangle, d’un carré et de figures usuelles. Ces aides sont là pour qu’aucun élève n’hésite à rentrer dans la recherche du problème.

Le troisième lien

3. Exprimer en fonction de x

est un exercice de l’application Mathenpoche dans lequel "L’élève doit déterminer des expressions de longueurs, d’aires ou de périmètres en fonction de x dans des cas élémentaires." 5?. Cet exercice doit pouvoir aider l’élève qui a du mal à identifier la variable et à s’en servir.

Le quatrième lien

4. De l’aide en calcul littéral (développer, factoriser, résoudre une équation, ...)

invite l’élève à se rendre sur le site Kidimath, sélectionner le niveau 3ème et le chapitre N2 : Calcul littéral et équations. Il pourra éventuellement y revenir pour y chercher autre chose, vu qu’il a accès à travers ce lien à un accompagnement à la scolarité en mathématiques pour tout le collège.

Le cinquième lien

5. Calcul formel avec XCAS : logiciel qui permet de faire du calcul littéral

pointe vers le logiciel de calcul formel en ligne XCAS, avec quatre exemples pour illustrer les fonctions factoriser Lenseigne_1">6?, developper 7?, resoudre Lenseigne_1">8? et simplifier 9?. Une remarque signale aux élèves que XCAS comprend également un tableur, lequel peut calculer avec les expressions saisies en mode "console".

Le sixième lien

6. Fonctions et calculatrices graphiques TI et Casio : de l’aide

propose des fiches de méthode sur le traçage de courbes de fonctions sur diverses calculatrices, en principe toutes celles présentes en classe.

Les septième et huitième liens

7. Tracenpoche : Figure à manipuler 8. Tracenpoche : Figure à compléter en utilisant les fonctionnalités du logiciel

proposent la figure de géométrie dynamique illustrant le problème à manipuler tout d’abord (seul le point M est mobile), puis éventuellement à compléter, dans ce cas la figure est accompagnée de la consigne : Il peut être utile de consulter les aides suivantes sur le site Tracenpoche :

  • les boutons de la zone figure ;
  • la section analyse.
ce qui devrait suffire à l’élève pour faire ce qu’il faut pour conjecturer des réponses. Compte-rendu de la première séance en classe La séance a été proposée en classe de seconde sur l’heure de module (2 groupes de 16 élèves), en salle informatique. Les 16 élèves de chaque groupe se sont répartis en 4 groupes de 3 et deux groupes de 2. Chaque groupe disposait de deux ordinateurs.

Un seul groupe ne s’est pas immédiatement emparé de l’ordinateur, il a commencé à travailler sur papier, avant d’utiliser la séance Mathenpoche. Deux groupes ont commencé par ouvrir Tracenpoche pour essayer de construire la figure du problème. Les autres groupes ont ouvert la séance Mathenpoche. Le temps passé devant les ordinateurs par les différents groupes a été compris entre 5 et 25 minutes.

Utilisation des ressources :

  • 100% des groupes ont utilisé l’aide animée : aire du carré et du rectangle
  • 83% des groupes ont utilisé l’aide animée : aire de figures usuelles
  • 8% des groupes ont utilisé Exprimer en fonction de x, en fait un seul groupe a utilisé une variable pour mathématiser le problème.
  • 56% des groupes ont utilisé De l’aide en calcul littéral (développer, factoriser, résoudre une équation, ...)
  • 28% des groupes ont utilisé le calcul formel avec XCAS : logiciel qui permet de faire du calcul littéral, la plupart par simple curiosité puisqu’ils n’avaient toujours pas d’expression algébrique à manipuler.
  • 33% des groupes ont utilisé Fonctions et calculatrices graphiques TI et Casio : de l’aide, la plupart par simple curiosité puisqu’ils n’avaient toujours pas d’expression algébrique à manipuler.
  • 100% des groupes ont utilisé la figure à manipuler
  • 72% des groupes ont utilisé la figure à compléter en utilisant les fonctionnalités du logiciel Tracenpoche.
  • 25% des groupes ont utilisé la calculatrice.
  • 100% des groupes ont utilisé un brouillon.
  • 50% des groupes ont réalisé des constructions (souvent plusieurs) illustrant le problème.
Tous les groupes ont réussi à conjecturer la réponse à la première question, arrondie au centième, une seconde séance va leur permettre de mathématiser le problème et de prouver leur résultat. Compte-rendu de la deuxième séance en classe Relance de l’activité Projection de la figure animée On perçoit que l’aire varie en fonction de la position de M. Elle atteint une valeur maximale de 64 cm2 lorsque M est en B, lorsque M est en A, son aire vaut la moitié de celle du carré donc 32 cm2. Si l’aire varie en fonction de la position de M, on peut logiquement chercher à exprimer une fonction qui donne la valeur de l’aire pour une position de M donnée. On a le choix pour la variable, la première qui vient à l’esprit des élèves est x = AM viennent ensuite x = AP, x = PN, x = MN. Je leur fais remarquer que ces trois là sont en fait proposées en fonction de la première justement ! Puis, viennent x = BM, x = DP, x = DN et enfin x = CN. Je leur dis qu’ils peuvent choisir celle qu’ils veulent, et qu’ensuite il leur faudrait choisir un nom pour une fonction qui devrait exprimer l’aire de l’enseigne en fonction de x. On rappelle le domaine de définition, énoncé par un élève lors de la discussion précédente : I = 0 ; 8?. Étudier les variations de f nous permettrait de répondre au problème, nous avons déjà fait cela en classe, et donc conjecturer que le minimum de f(x) est à peu près égal à 28 cm2 , atteint en x = 2. Il restera à prouver que cela est vrai, c’est-à-dire que f(x) > 28 pour tout x neq 2. Rappel qu’il est attendu un document écrit par groupe, contenant :
  • pistes empruntées
  • outils utilisés
La phase de recherche en petits groupes : Sans aucune influence de ma part, ils choisissent tous x = AM. La mathématisation du problème pose quelques … problèmes !
  • f(x) = x^2 + frac{8 - x times 8}{ 2}.
  • A(x) = x^2 + {{8 times 8 - x }over 2}.
  • A(x) = x^2 + {{8 times y}over 2}.
Certains groupes ont du mal à trouver l’expression de la fonction, ils s’en sortent en faisant l’exercice « Exprimer en fonction de x » soit de leur propre initiative soit à la suite de mon conseil. Se posent alors des problèmes de développement :
  • {8(8 - x)over 2} = {64x over 2}
Plusieurs groupes utilisent XCAS pour franchir cet obstacle.

A la calculatrice, les élèves conjecturent que la fonction décroit entre 0 et 2 et croit entre 2 et 8, elle atteint donc un minimum, 28 pour x = 2. Pour la question 2, les élèves ont du mal à voir comment résoudre x^2 = 32 - 4x A noter quelque chose que je n’avais jamais vu, un élève est venu voir l’écran d’un autre groupe, l’a pris en photo avec son téléphone portable et est retourné montrer à ces camarades sa photo ! Retour en classe lors de la restitution des copies Aucun élève n’a apporté la preuve que f(2) = 28 est bien le minimum de f(x) sur 0 ; 8?. Ils n’en ont pas ressenti la nécessité, pour eux cela se voyait … Je leur demande alors de prouver que f(x) > 28 si x > 2, c’est-à-dire f(x) - 28 > 0 si x > 2, soit x^2 - 4x + 4 > 0 si x > 2 et finalement (x - 2)^2> 0 si x > 2, ce qui est vrai bien sur.


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